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Objective-C 实现 0-1 背包问题

背包问题是一个经典的优化问题，通常可以通过动态规划来解决。在这个问题中，我们需要在给定的物品中选择一个子集，使得总重量不超过背包容量，并且总价值最大化。

以下是一个用 Objective-C 实现的 0-1 背包问题的示例代码。这个代码基于动态规划的思路，通过维护一个一维数组 dp[] 来记录不同背包容量下的最大价值。

类定义

#import 
   
    @interface Knapsack : NSObject- (NSInteger)knapsackWithWeights:(NSArray *)weights                               capacities:(NSArray *)capacities                              values:(NSArray *)values;- (NSArray *)items;- (NSInteger)capacity;- (void)setCapacity:(NSInteger)capacity;- (void)compute;@end
   

实现代码

@implementation Knapsack- (NSInteger)knapsackWithWeights:(NSArray *)weights                               capacities:(NSArray *)capacities                              values:(NSArray *)values {    self.capacities = [capacities sortedArray];    self.items = [weights zipValues];    self.values = [values];    [self compute];    return self.capacity;}- (NSArray *)items {    return [self.values mapWithIndex: [self.weights mapWithIndex: i]];}- (void)compute {    NSInteger n = [self.items count];    NSInteger w = [self.capacities lastObject];    NSInteger dp[n+1][w+1];        for (NSInteger i = 0; i <= n; i++) {        for (NSInteger j = 0; j <= w; j++) {            if (i == 0 || j == 0) {                dp[i][j] = 0;            } else if (i == 1) {                dp[i][j] = [self.items[0] <= j] ? [self.values[0] : 0];            } else {                boolean included = [self.items[i-1] <= j];                boolean notIncluded = true;                dp[i][j] = max(                    dp[i-1][j] + (included ? [self.values[i-1] : 0]),                    dp[i][j-1] + (notIncluded ? 0 : 0)                );            }        }    }        self.capacity = dp[n][w];}

背包问题的基本思路

背包问题的动态规划解法通过维护一个一维数组 dp[] 来记录不同背包容量下的最大价值。具体来说，dp[j] 表示背包容量为 j 时的最大价值。

对于每个物品，我们可以选择是否放入背包：

• 如果不放入，dp[j] = dp[j]。
• 如果放入，且物品重量 <= j，那么 dp[j] = dp[j - w_i] + v_i。

最终，dp[capacity] 将包含背包问题的最优解。

实现细节

在这个实现中，我们通过一个类 Knapsack 来封装背包问题的逻辑。类的属性包括：

• weights: 物品的重量数组
• capacities: 背包容量数组
• values: 物品的价值数组
• capacity: 当前背包的容量

类方法包括：

• knapsackWithWeights:capacities:values:：计算背包问题并返回最大价值
• items:：返回已选物品的数组
• capacity:：获取当前背包的容量
• setCapacity:：设置背包容量
• compute：：执行动态规划计算

动态规划方法

动态规划算法的时间复杂度为 O(nW)，其中 n 是物品数量，W 是背包容量。空间复杂度为 O(W)，可以通过使用一维数组优化到 O(W)。

优化建议

在实际应用中，可以通过以下优化来提高性能：

• 如果物品数量或容量较大，可以使用更高效的存储结构（如 bitset 或 sparse representation）。
• 在计算过程中，可以采用剪枝技术来减少不必要的计算。

通过以上方法，我们可以在 Objective-C 中实现一个高效的 0-1 背包问题求解器。

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